Question

2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；
（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；
（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2） 
如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，
∵点N是线段BC的中点，∴BN=CN，
在△MNB和△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMN=∠E}\\{∠MNB=∠ENC}\\{BN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MNB≌△ENC，
∴MN=EN，
即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，
∴MP⊥DE，
∴∠MPE=90°，
∴PN=MN=$\frac{1}{2}$ME；
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵M，N分别是边AB，BC的中点，
∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，
由（2）知：△MNB≌△ENC，
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，
又∵PN=MN=NE，
∴∠NPE=∠E，
设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，
则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，
在△PNC中，2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，
在△PNC中，2x+x+x=180，
解得：x=45，
∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．
③NP=NC时，不可能．
故∠B为108°或90°．

点评 本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结．