Question

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，BC=3，AB=9，△DBC沿着CD翻折后，点B落到点E，那么AE的长为7．

Answer 1

分析 先由勾股定理求得AC的长，然后可求得sin∠DBC的值，然后证明∠DCB=∠DBC，由OB=CBsin∠DCB可求得OB的长，然后可得到BE的长，然后依据三角形的中线的性质可得到AE∥CD，则△AEB为直角三角形，最后依据勾股定理求解即可．

解答 解：如图所示：连接BE．

在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{A{B}^{2}-C{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∴sin∠ABC=$\frac{6\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=BD=AD．
∴∠DCB=∠DBC．
∴BO=BCsin∠DCB=3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
由翻折的性质可知BE⊥CD，OE=OB．
∵AD=BD，OB=OE，
∴AE∥OD，BE=4$\sqrt{2}$，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，依据勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=7．
故答案为：7．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质，证得△ABE为直角三角形是解题的关键．