Question

如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λ_A=

DE

BE

．特别地，当点D、E重合时，规定：λ_A=0．另外，对λ_B、λ_C作类似的规定．

（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λ_A、λ_C；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且λ_A=2，面积也为2；
（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：
①若△ABC中λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形；

 

②若△ABC中λ_A=1，则△ABC为直角三角形；

 

③若△ABC中λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形．

 

．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案，
（2）根据题目要求即可画出图象，
（3）根据真假命题的定义即可得出答案．

解答：解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，
∴λ_A=

CD

BD

=1，
过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=

EF

AF

=

EF

CF

=cos60°=

1

2

；

（2）如图：

（3）①×，②√，③√．

点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．