Question

18．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，M为抛物线对称轴上一点，当∠ACD=∠BCM时，求M点坐标．

Answer 1

分析 首先证明∠ACB=90°，过C作CM⊥CD交x轴于M，由∠DCM=∠ACB=90°，推出∠DCA=∠MCB，求出直线CM的解析式即可解决问题．

解答 解：对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，
令x=0，得y=2，∴C（0，2），
令y=0得-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5．AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
过C作CM⊥CD交x轴于M，
∵∠DCM=∠ACB=90°，
∴∠DCA=∠MCB，
∵D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+2，
∵CM⊥CD，
∴直线CM的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+2，
令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，
∴点M坐标（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、勾股定理逆定理、两条直线垂直k的乘积为-1等知识，解题的关键是发现∠ACB=90°，求出直线CM是关键，属于中考常考题型．