Question

15．如图1，在平面直角坐标系中．直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）首先求出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题；
（3）如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q″的坐标；

解答 （1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90°，
∴∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠BCO=∠CDE，
∵BC=CD，
∴△BOC≌△CED．

（2）∵△BOC≌△CED，
∴OC=DE=m，BO=CE=3，
∴D（m+3，m），
把D（m+3，m）代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得到，m=-$\frac{1}{2}$（m+3）+3，
∴2m=-m-3+6，
∴m=1，
∴D（4，3），
∵B（0，3），C（1，0），
∴直线BC的解析式为y=-3x+3，
设直线B′C′的解析式为y=-3x+b，把D（4，3）代入得到b=15，
∴直线B′C′的解析式为y=-3x+15，
∴C′（5，0），
∴CC′=4，
∴△BCD平移的距离是4个单位．

（3）解：如图3中，作CP∥AB交y轴于P，作PQ∥CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，

易知直线PC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴P（0，$\frac{1}{2}$），
∵点C向左平移1个单位，向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到P，
∴点D向左平移1个单位，向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到Q，
∴Q（3，$\frac{3}{2}$），
当CD为对角线时，四边形PCQ″D是平行四边形，可得Q″（5，$\frac{1}{2}$），
当四边形CDP′Q′为平行四边形时，易知Q与Q′关于B对称，可得Q′（-3，$\frac{9}{2}$），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（3，$\frac{3}{2}$）或（5，$\frac{1}{2}$）或（-3，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．