Question

5．已知：如图，P是正方形ABCD内一点，△PCB顺时针旋转得到△ABE．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少角度？
（3）若∠APB=135° PA=1，PB=2，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据旋转的定义求解；
（2）由正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，而△PCB顺时针旋转得到△ABE，则根据旋转的性质得旋转角度为90°；
（3）连结PE，如图，先利用旋转的性质得到∠PBE=90°，BP=BE=2，AE=PC，则可判断△PBE为等腰直角三角形，所以PE=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$，∠BPE=45°，于是可计算出∠APE=90°，然后利用勾股定理可计算出AE，从而得到PC的长．

解答 解：（1）∵△PCB顺时针旋转得到△ABE，
∴旋转中心为点B；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴△PCB顺时针旋转得到△ABE，旋转角度为90°；
（3）连结PE，如图，
∵△PCB绕点B顺时针旋转90°得到△ABE，
∴∠PBE=90°，BP=BE=2，AE=PC，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$BP=2$\sqrt{2}$，∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=90°，
在Rt△APE中，∵PA=1，PE=2$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∴PC=AE=3．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．