Question

10．如图1，在矩形OABC中，点A的坐标为（0，-2），顶点坐标为（2，-6）的抛物线过A，B两点，设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到何处时，△PBC的周长最小？求此时点P的坐标和△PBC的周长；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，设∠AOC的平分线与AB交于点N，问是否存在点P，使得以P，N，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式设出抛物线的解析式，再代入点A的坐标，进而得解；
（2）先写出A、B、C三点的坐标，再求出点C关于∠AOC的角平分线的对称点C′，连接CC′交∠AOC的对角线于点P，即为所求，进而根据勾股定理求出BC′的长，即可得解；
（3）因为以点P为顶点的角始终是45°的角，所以可分以点N 为直角顶点和以点Q为直角顶点两种情况讨论，即可得解．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-6，把点A（0，-2）代入可得：
-2=4a-6，
解得：a=1，
∴y=（x-2）²-6，
即：y=x²-4x-2；
（2）如图1，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB，
∴点B的纵坐标为-2，
∴x²-4x-2=-2，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B（4，-2），C（4，0），
∵OP是∠AOC的平分线，∴∠C′OP=∠COP=45°，直线OP的解析式为y=-x，OC′=OC=4，
∴C′（0，-4），
设直线BC′的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，-2）和点C′（0，-4）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC′的解析式为：y=x-4，其与之下OP的交点为P，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点P（2，-2），
在Rt△BAC′中，AC′=2，AB=4，
∴BC′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵PC=PC′，
∴△PBC的周长为：PC+PB+BC=PC′+PB+BC=BC′+BC=2$\sqrt{5}$+2；
（3）如图2，
∵OP是∠AOC的平分线，PQ∥y轴，
∴∠QPN=45°，PQ⊥AB，
①当PN⊥QN时，△PNQ是等腰直角三角形，PQ交AB于点M（a，-2），
∴∠NPM=∠NQM=∠PNM=∠QNM=45°，
∴PN=$\sqrt{2}$MN，
PQ=$\sqrt{2}$PN=2MN=2（2-a）
设P（a，-a），Q（a，a²-4a-2），
PQ=-a-（a²-4a-2）=-a²+3a+2，
∴2（2-a）=-a²+3a+2，
解得：a₁=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，${a}_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
∴点P（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$-\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）或P（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-5}{2}$）；
②当PQ⊥QN时，点Q与点B重合，
此时，点P（4，-4），
综上可知，存在点P，即：P₁（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$-\frac{5+\sqrt{17}}{2}$），P₂（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-5}{2}$），P₃（4，-4）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，以及利用对称求三角形的周长的最小值问题，还考查了等腰直角三角形的性质以及分类讨论思想，特别注意，等腰直角三角形的直角顶点不固定时，要注意分类讨论．