Question

如图直角坐标系中，以M（3，0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．
（1）若C点坐标为（0，4），求点A坐标．
（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P．
（3）过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．

Answer 1

分析：（1）结合题意，连接CM，根据点M和点C的坐标可得出⊙M的半径，即MA的长，利用M的坐标即可得出A的坐标；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=5．根据圆的方程和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；
（3）作MH⊥AN于H，则AH=NH，易证△AMH≌△MCO，故AH=M0．从而可证AH为一定值．

解答：解：（1）根据题意，连接CM，又M（3，0），C（0，4）；
故CM=5，即⊙M的半径为5；
所以MA=5，且M（3，0）；
即得A（-2，0）；

（2）假设存在这样的点P（x，y），结合题意，
可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=5，
故CP=5

2

；
结合题意有，

(x-3)2+y2=25 x2+(y-4)2=50

；
解之得：

x1=7 y1=3

、

x2=-1 y2=-3

⊙
即存在两个这样的点P；
P₁（7，3），P₂（-1，-3）；

（3）AN的长不变为6．
证明：连接CM，作MH⊥AN于H，
易证△AMH≌△MCO，
故AH=M0=3．
即AN=HN+AH=3+3=6．

点评：本题主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，要求学生能够熟练掌握并运用．