Question

12．如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问：
（1）点E在∠ABC的平分线上吗？
（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明．

Answer 1

分析 （1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图，利用角平分线的性质得ED=EH，而ED=EC，则EC=EH，然后根据角平分线的判定方法即可得到BE平分∠ABC；
（2）利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△AHE得到AD=AH，同样可证明Rt△BCE≌Rt△BHE得到BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB．

解答 解：（1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图，
∵AE平分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB，
∴ED=EH，
∵点E是CD的中点，
∴ED=EC，
∴EC=EH，
而AD∥BC，DC⊥AD，
∴EC⊥BC，
∴BE平分∠ABC，即点E在∠ABC的平分线上；
（2）AD+BC=AB．理由如下：
在Rt△ADE和Rt△AHE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{ED=EH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE，
∴AD=AH，
同样可证明Rt△BCE≌Rt△BHE，
∴BC=BH，
∴AD+BC=AH+BH=AB．

点评 本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质．