Question

2．如图1，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，已知点A、点B的坐标分别为A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上找一点P，使△PBC的面积最大，求P点的坐标；
（3）如图2，连接BD、CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过抛物线上一点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，求当∠CMN=∠BDE时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）、B（3，0）两点代入得到关于a、b的方程组，可求得a、b的值；
（2）由题意设P（x，-x²+2x+3），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q．先求得直线BC的解析式，则得到Q（x，-x+3），然后列出△BCD的面积与x的关系式，利用配方法可求得点P的横坐标以及△CBD的面积的最大值；
（3）首先求得C点坐标为（0，3），顶点（1，4），E（1，0）则tan∠BDE=$\frac{1}{2}$．①当点M在对称轴的右侧时，作当点N在射线CD上时，如图1，过点N作y轴的垂线，垂足为G，过点M作GN的垂线，垂足为H，则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形．设CG=a，用含a的式子表示点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；若点N在射线DC上，如图，过点N作x轴的垂线l，分别过点M、C作GN的垂线，垂足为H、G，则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形，同理可求得此时a的值；②当点M在对称轴左侧时，抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°．

解答 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）两点代入y=ax²+bx+3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得：a-1，b=2．
∴抛物线的表达式为：y=-x²+2x+3．
（2）由题意设P（x，-x²+2x+3），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B，C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
∴直线CB解析式：y=-x+3，则Q（x，-x+3）
∴PQ=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S_△BCD取最大值，
此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
（3）∵抛物线y=-（x-3）（x+1）=-x²+2x+3与与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，3），顶点（1，4），E（1，0）
∴tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$．
①当点M在对称轴的右侧时．
（I）作当点N在射线CD上时，如图2，过点N作y轴的垂线，垂足为G，
过点M作GN的垂线，垂足为H，则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形．

∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠CMN=tan∠BDE=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{MN}$．
∴△CNG，△MNH相似比为1：2
设CG=a，则NG=a，NH=NH=2a，
∴M（3a，3+a-2a），即M（3a，3-a），
将点M的坐标代入抛物线的解析式得：-（3a）²+2×3a+3=3-a，解得：a=0（舍去）或a=$\frac{7}{9}$
此时M（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
（II）若点N在射线DC上，如图3，过点N作x轴的垂线l，分别过点M、C作GN的垂线，垂足为H、G，则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，
∴tan∠CMN=tan∠BDE=$\frac{1}{2}$=$\frac{CN}{MN}$，
∴△CNG与△MNH相似比为1：2
设CG=a，则NG=a，NH=NH=2a，
∴M（a，3-a-2a），即M（a，3-3a），
将点M的坐标代入抛物线的解析式得：-a²+2a+3=3-3a，解得：a=0（舍去）或a=5，此时M（5，12）
②当点M在对称轴左侧时．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
∵抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，
∴点M不存在．
综上可知，点M坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形函数的定义、相似三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．