Question

求不定方程

1

x

+

1

y

=

1

30

的整数解中，使x+y最大以及最小的两组解．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：利用已知条件将方程

1

x

+

1

y

=

1

30

变形，整理为（x-30）（y-30）=30²，分析两数相乘所有的可能，找出符合题意的解，进一步即可解答．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

30

，
去分母得：30（x+y）=xy，
∴（x-30）（y-30）=30²，
又∵x与y是正整数，
∴x-30，y-30都是整数，且都大于-30，
∵现在两整数之积为30²，
∴这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于30，
∴x-30与y-30必都是30²的正约数，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

30

的正整数解（x，y）可写成（30+d，30+

302

d

），这里d为30²的正约数，
∵30²的正约数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，25，30，36，45，50，60，75，90，100，150，180，225，300，450，900，
当x=31时，y=930，
当x=32时，y=480，
当x=33时，y=330，
当x=34时，y=255，
当x=35时，y=210，
当x=36时，y=180，
当x=39时，y=130，
当x=40时，y=120，
当x=42时，y=105，
当x=45时，y=90，
当x=48时，y=80，
当x=50时，y=75，
当x=55时，y=66，
当x=60时，y=60，
当x=66时，y=55，
当x=75时，y=50，
当x=80时，y=48，
当x=90时，y=45，
当x=105时，y=42，
当x=120时，y=40，
当x=130时，y=39，
当x=180时，y=36，
当x=210时，y=35，
当x=255时，y=34，
当x=330时，y=33，
当x=480时，y=32，
当x=930时，y=31，
∴使x+y最大的方程的解是

x=31 y=930

或

x=930 y=31

，使x+y最小的方程的解是

x=60 y=60

．

点评：本题考查了非一次不定方程，解答本题的关键是将方程整理为整式方程后再进行分析解决，在解这类方程组，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择恰当的方法进行求解，难度较大．