Question

【题目】如图，已知A，B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接EP，FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EF∥OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴

当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，

∴

∴S△PEF= EFOE= （平方单位）

（2）解：∵△BEF∽△BOA，

∴

∴

整理，得t2﹣30t+240=0

∵△=302﹣4×1×240=﹣60＜0，∴方程没有实数根．

∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值

（3）解：当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA

∴ ，即

解得，t=12（11分）

当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB

∴ ，即

解得，

∴当t=12或 时，△EOP∽△BOA

【解析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF= EFOE．t=15时，OE=15，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则 ，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用求根公式和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．