Question

1．如图所示，楼房AB的对面有一个建筑物EC．建筑物上方有一个信号发射塔EF．为测量EF的高度，某数学活动小组在B处测得塔尖F仰角为45°．在A处测得塔尖F仰角为α、测得点E仰角为β．已知AB高为10米，求EF的高度．（参考数据：tanα=$\frac{3}{4}$，tanβ=$\frac{9}{25}$）

Answer 1

分析 通过解等腰直角△BFC得到BC=FC，结合矩形的性质推知AD=BC；然后通过解直角△AFD与直角△EAD分别求得AD的长度；最后利用AD的长度不变列出方程求得FD、ED的长度，则EF=FD-ED．

解答 解：依题意得，AD=BC．
∵在直角△BFC中，∠FBC=45°，则BC=FC．
∴AD=FC=10+FD．
∵在直角△AFD中，∠FAD=α，tanα=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{FD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，则AD=$\frac{4}{3}$FD．
∴10+FD=$\frac{4}{3}$FD．
解得FD=30．
∴AD=40米
∵在直角△EAD中，∠EAD=β，tanβ=$\frac{9}{25}$，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{9}{25}$，即$\frac{ED}{40}$=$\frac{9}{25}$，
∴ED=$\frac{72}{5}$（米），
∴EF=FD-ED=30-$\frac{72}{5}$=$\frac{78}{5}$（米）．
答：EF的长度是$\frac{78}{5}$米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．