Question

（1）已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q．判断线段EP、FQ的数量关系，并证明；
（2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EP⊥MN于P，FQ⊥MN于Q．（1）中结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）EP、FQ的数量关系是相等．
证明：在△FQA与△ANC中，∠F=90°-∠FAQ=∠CAN，∠FQA=∠ANC=90°，AF=AC，
∴△FQA≌△ANC，
∴FQ=AN；
同理△EPA≌△ANB，
∴EP=AN，
∴EP=FQ；

（2）答：（1）中的结论依然成立．理由如下：
过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、I．
在△FKD与△DIC中，∠F=90°-∠FDK=∠CDI，∠FKD=∠DIC=90°，DF=DC，
∴△FKD≌△DIC，
∴FK=DI，
∴FQ=FK+KQ=DI+DM=DM+MN；
同理可得，EP=AM+MN，
又∵MN为AD中垂线，
∴AM=MD，
∴EP=AM+MN=DM+MN=FQ．
分析：（1）由正方形的边角关系可证△FQA≌△ANC，则FQ=AN；同样可证△EPA≌△ANB，则EP=AN．从而得出EP=FQ；
（2）过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、I，由AAS可证△FKD≌△DIC，则QK=DM，FQ=DM+MN，同理可得，EP=AM+MN，再由MN为AD中垂线，得出AM=MD，从而证出EP=FQ．
点评：本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定等知识，需要学会分割线段来证明线段相等．难度较大．