Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴负半轴交于点A（-2，0），顶点D的坐标为（1，-4）
（1）求此抛物线的解析式；
（2）探究对称轴上是否存在一点P，使得以P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标可设出抛物线的顶点式解析式，把A点坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）可设P点坐标为（1，t），则可表示出PA、PD，且可求得AD，分PA=PD、PA=AD和PD=AD三种情况分别得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线顶点坐标为（1，-4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
∵抛物线与x轴负半轴交于点A（-2，0），
∴0=9a-4，解得a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{4}{9}$（x-1）²-4；
（2）∵顶点为D（1，-4），
∴对称轴为x=1，
∴可设P点坐标为（1，t），
∴PA=$\sqrt{{3}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{9+{t}^{2}}$，PD=|t+4|，且AD=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=5，
∵△PAD为等腰三角形，
∴有PA=PD、PA=AD和PD=AD三种情况，
①当PA=PD时，则有$\sqrt{9+{t}^{2}}$=|t+4|，解得t=-$\frac{7}{8}$，此时P点坐标为（1，-$\frac{7}{8}$）；
②当PA=AD时，则有$\sqrt{9+{t}^{2}}$=5，解得t=4或t=-4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，4）；
③当PD=AD时，则有|t+4|=5，解得t=1或t=-6，此时P点坐标为（1，1）或（1，-6）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，-$\frac{7}{8}$）或（1，4）或（1，1）或（1，-6）．

点评 本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意灵活选择抛物线解析式的形式，在（2）中用P点坐标表示出PA、PD的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．