Question

如图，点A在第四象限，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于C（O，-1）和D（0，-4），则点A的坐标是

1. A.
   （2，2.5）
2. B.
   （2.5，-2）
3. C.
   （-2，2.5）
4. D.
   （2，-2.5）

Answer 1

A
分析：连接AB，AC，过A作AE垂直于y轴，交y轴于点E，由垂径定理得到E为CD的中点，再由圆A与x轴相切，得到AB垂直于x轴，利用三个角是直角的四边形为矩形可得出ABOE为矩形，根据矩形的对边相等可得出AB=OE，OB=AE，由C和D的坐标得出OC及OD的长，由OD-OC求出CD的长，进而求出CE的长，再由OC+CE求出OE的长，即为A的纵坐标，在直角三角形ACE中，OE=AB=AC，由AC及CE的长，利用勾股定理求出AE的长，可得出OB的长，即为A的横坐标，即可确定出A的坐标．
解答：如图所示：

连接AB，AC，过A作AE⊥y轴，交y轴于点E，
可得E为CD的中点，即CE=DE，
∵C（O，-1）和D（0，-4），
∴OC=1，OD=4，
∴CD=OD-OC=3，
∴CE=DE=1.5，
∵圆A与x轴相切，
∴AB⊥x轴，
又∵两坐标轴垂直，且AE⊥y轴，
∴∠BOE=∠AEO=90°，
∴四边形ABOE为矩形，
∴AB=OE，OB=AE，
∴AB=OE=OC+CE=1+1.5=2.5，
在直角三角形ACE中，
根据勾股定理得：AE===2，
∴OB=AE=2，
则点A的坐标为（2，2.5）．
故选A
点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，垂径定理，以及矩形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，此外遇到直线与圆相切，注意连接圆心与切点．