Question

6．已知，在直角坐标系内点A（-5，$\frac{15}{8}$），点B（-2，3），点C（0，3），抛物线C₁：y=a（x+3）²+k经过点A，点B
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图2，试问在抛物线C₁上是否存在点P（不与点B重合），使得S_△AOB=S_△AOP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请经过计算说明理由；
（3）2如图，将抛物线C₁向右平移6个单位得到抛物线C₂，此时点B平移到点D，抛物线C₂的对称轴与直线OD交于点M，点Q为抛物线C₂对称轴上一动点，以Q，O，M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、点B的坐标代入抛物线C₁解析式，求得a与k的值即可求得其解析式；（2）在抛物线C₁上找出与点B到直线OA的距离相等的点即可；（3）根据相似三角形的判定：两组对应边的比值相等且夹角也相等的两三角形相似，或：平行于三角形一边的直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的三角形与原三角形相似，求得相应的点Q的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（-5，$\frac{15}{8}$）和点B（-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-5+3）^{2}+k=\frac{15}{8}}\\{a（-2+3）^{2}+k=3}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{k=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴抛物线C₁的解析式为y=-$\frac{3}{8}（x+3）^{2}+\frac{27}{8}$
（2）直线OA：y=-$\frac{3}{8}$x，则过B平行于OA的直线BE：y=-$\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}$，
设抛物线C₁与直线BE交于点P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x+\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$（舍去）$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$
∴${P}_{1}（-3，\frac{27}{8}）$．
直线BE交y轴于点E，则E关于x轴的对称点为F$（0，\frac{9}{4}）$，
∴过F平行于OA的直线MF：y=-$\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}$，
设抛物线C₁与直线MF交于点P（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{9}{4}x}\\{y=-\frac{3}{8}x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=-\frac{21}{8}}\end{array}\right.$．
∴P₂（-6，0），${P}_{3}（1，-\frac{21}{8}）$．
（3）抛物线C₁向右平移6个单位后所得抛物线C₂：y=-$\frac{3}{8}（x-3）^{2}+\frac{27}{8}$，
点B平移后得点D（4，3），
∵C（0，3），D（4，3），
∴CD∥x轴．
抛物线C₂的对称轴为：直线x=3交x轴于Q₁（3，0）．
过O垂直于OM的直线交对称轴于Q₂，
则有$O{{Q}_{1}}^{2}=M{Q}_{1}•{Q}_{1}{Q}_{2}$，
直线OD：y=$\frac{3}{4}x$交对称轴于M（3，$\frac{9}{4}$），
∴Q₂（3，-4）
综上所述，满足要求的点Q的坐标为（3，0）或（3，-4）．

点评 此题考查了垂径定理、用待定系数法求函数解析式和函数交点坐标与方程组的解的关系，（3）是结论开放性题目，需要进行探索，解题时要分析满足条件的不同情况，不可漏解．