Question

10．⊙O是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3，过直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS，则正方形PQRS的面积最小为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 连结OQ、OP，作OH⊥l于H，如图，则OH=3，根据切线的性质得OQ⊥PQ，利用勾股定理得到PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，根据垂线段最短，当OP=OH=3时，OP最小，于是PQ的最小值为2$\sqrt{2}$，即可得到正方形PQRS的面积最小值为8．

解答 解：连结OQ、OP，作OH⊥l于H，如图，则OH=3，
∵PQ为⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，
当OP最小时，PQ最小，正方形PQRS的面积最小，
而当OP=OH=3时，OP最小，
所以PQ的最小值为$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
所以正方形PQRS的面积最小值为8．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．