Question

14．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

Answer 1

分析 （1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=$\sqrt{3}$，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=$\sqrt{6}$；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=$\sqrt{9-O{P}^{2}}$，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，所以PQ长的最大值=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=$\frac{OP}{OB}$，
∴OP=3tan30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPQ中，∵OP=$\sqrt{3}$，OQ=3，
∴PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{6}$；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{9-O{P}^{2}}$，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，
∴PQ长的最大值为$\sqrt{9-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．