Question

6．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD=$\frac{48}{5}$，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=$\frac{14}{5}$，再根据正弦的定义求解．

解答 解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}$AE•BC=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴BD=$\frac{8×12}{10}$=$\frac{48}{5}$，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=$\frac{48}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{14}{5}$，
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\frac{14}{5}}{10}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．