Question

【题目】如图，抛物线的图象经过点，对称轴为直线，一次函数的图象经过点，交轴于点，交抛物线于另一点，点、位于点的同侧．

求抛物线的解析式；

若，求一次函数的解析式；

在的条件下，当时，抛物线的对称轴上是否存在点，使得同时与轴和直线都相切，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值，再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值，此题得解；
（2）根据P、A、B三点共线以及PA：PB=3：1结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式；
（3）假设存在，设出点C的坐标，依照题意画出图形，根据角的计算找出∠DCF=∠EPF，再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程，解方程求出r值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．

解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：．
将点代入中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为．

∵、、三点共线，，且点、位于点的同侧，
∴，
又∵点为轴上的点，点，
∴．
当时，有，
解得：，，
∴点的坐标为或．
将点、代入中，
，解得：；
将点、代入中，
，解得：．
∴一次函数的解析式或．

假设存在，设点的坐标为．
∵，
∴直线的解析式为．
当时，，

解得：，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为．
令与直线的切点为，与轴的切点为，抛物线的对称轴与直线的交点为，连接，如图所示．
∵，，
∴．
在中，，，
∴，
解得：或．
故当时，抛物线的对称轴上存在点，使得同时与轴和直线都相切，点的坐标为或．