Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？说明理由．
（2）△AEF与△ABC相似吗？说说你的理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,平行四边形的性质

专题：常规题型

分析：（1）先根据平行四边形的性质得∠B=∠D，再根据垂直的定义得到∠AEB=∠AFD=90°，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABE∽△ADF；
（2）先根据相似的性质得

AB

AD

=

AE

AF

，而AD=BC，根据比例性质得

AB

AE

=

BC

AF

，然后利用AB∥CD得到∠BAF=∠AFD=90°，则可根据等角的余角相等得∠B=∠EAF，则可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△AEF∽△ABC．

解答：解：（1）相似．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF；
（2）相似．理由如下：
∵△ABE∽△ADF，
∴

AB

AD

=

AE

AF

，
而AD=BC，
∴

AB

AE

=

BC

AF

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD=90°，
∴∠EAF+∠BAE=90°，
而∠B+∠BAE=90°，
∴∠B=∠EAF，
∴△AEF∽△ABC．

点评：本题考查了三角形相似的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；三组对应边的比相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．