Question

【题目】已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1 ， BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2 ， 连接PP1、PP2 ．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数;
（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA;
（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2 ， l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．

∵α=90°，

∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=45°，

∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°.

（2）

解：

证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，

∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°﹣）=α，

在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，

又∵∠PP2P1=∠AP2P，

∴△P2P1P∽△P2PA．

（3）

解：证明：如图，连接QB．

∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，

∴EB=BP，FB=BP2．

又BP=BP2，

∴EB=FB．

在Rt△QBE和Rt△QBF中，

，

∴Rt△QBE≌Rt△QBF，

∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，

由中垂线性质得：QP=QB，

∴∠QPB=∠QBE=，

由（2）知∠APP1=90°﹣，

∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）﹣=90°，

即 P1P⊥PQ．

【解析】（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；
（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．