Question

18．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{4}$．
（1）求线段BD的长；
（2）求∠ADC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到△BED∽△BDA，由相似三角形的性质得到BD²=BE•BA，即可得到结论；
（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED，根据余角的性质得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{BD}$，根据三角形函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵DE⊥AD，
∴∠BDE=∠CAD=90°-∠CDA，
∵∠CAD=∠DAB，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴BD²=BE•BA，
∵AB=4，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{4}$，
∴BE=1，
∴BD²=1×4=4，
∴BD=2；

（2）∵DE⊥AD，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CAD=∠DAB，
∵△ACD∽△ADE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
∵△BED∽△BDA，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADC=tan∠AED=$\frac{AD}{DE}$=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．