Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点I、O分别是△ABC的内心和外心，则tan∠IOA=2．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，得出△ABC的外接圆半径OA=$\frac{1}{2}$AB=2.5，作ID⊥AC于D，TE⊥AB于E，则ID=IE=CD=△ABC内切圆的半径=1，由切线长定理得出AE=AD=2，求出OE的长，tan∠IOA=$\frac{IE}{OE}$，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=2.5，
作ID⊥AC于D，TE⊥AB于E，
则ID=IE=CD=△ABC内切圆的半径=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，
∴AD=2，
由切线长定理得：AE=AD=2，
∴OE=OA-AE=0.5，
∴tan∠IOA=$\frac{IE}{OE}$=$\frac{1}{0.5}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了三角形的外接圆于外心、内切圆与内心、勾股定理、切线长定理、三角函数等知识；本题综合性强，求出直角三角形的外接圆半径与内切圆半径是解决问题的关键．