Question

7．在平面直角坐标系中，点A（m，m）在第一象限，且实数m满足条件：|$\sqrt{3}$-m|=m-$\sqrt{m-4}$，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C
（1）求m的值；
（2）如图，BE=1，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，D在AO上，且AD=AE，连接ED并延长x交轴于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式有意义的条件确定m的范围，然后去掉绝对值符号，即可求得m的值；
（2）作DG⊥y轴于点G，根据△ODG∽△OAB，根据相似三角形对应边的比相等求得DG的长，则D的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得直线EP的解析式，则P的坐标即可求得．

解答 解：（1）根据题意得m-4≥0，则m≥4．则条件：|$\sqrt{3}$-m|=m-$\sqrt{m-4}$，即m-$\sqrt{3}$=m-$\sqrt{m-4}$，
解得：m=7；
（2）作DG⊥y轴于点G．
A的坐标是（7，7），则OA=7$\sqrt{2}$，AB=7，
在直角△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
则AD=AE=5$\sqrt{2}$，OD=7$\sqrt{2}$-5$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
∵GD∥AB，
∴△ODG∽△OAB，
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{OD}{OA}$，即$\frac{DG}{7}=\frac{2\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=\frac{2}{7}$，
则DG=2，
则D的坐标是（2，2）．
设ED的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
则直线EP的解析式是y=-2x+6．
当x=0时，-2x+6=0，解得：x=3．
则P的坐标是（3，0）．

点评 本题考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线求得D的坐标是关键．