【题目】如图,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线y=﹣ x+1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:△DBO∽△EBC;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx﹣3,
∴c=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴OC=3,
∵BO=OC=3AO,
∴BO=3,AO=1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
∵该抛物线与x轴交于A、B两点,
∴ ,
∴ ,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3
(2)
证明:由(1)知,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴BC=3 ,BE=2 ,CE= ,
∵直线y=﹣ x+1与y轴交于点D,
∴D(0,1),
∵B(3,0),
∴OD=1,OB=3,BD= ,
∴ , , ,
∴ ,
∴△BCE∽△BDO
(3)
解:存在,
理由:设P(1,m),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3 ,PB= ,PC= ,
∵△PBC是等腰三角形,
①当PB=PC时,
∴ = ,
∴m=﹣1,
∴P(1,﹣1),
②当PB=BC时,
∴3 = ,
∴m=± ,
∴P(1, )或P(1,﹣ ),
③当PC=BC时,
∴3 = ,
∴m=﹣3± ,
∴P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣ ),
∴符合条件的P点坐标为P(1,﹣1)或P(1, )或P(1,﹣ )或P(1,﹣3+ )或P(1,﹣3﹣ )
【解析】(1)先求出点C的坐标,在由BO=OC=3AO,确定出点B,A的坐标,最后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出点A,B,C,D,E的坐标,从而求出BC=3 ,BE=2 ,CE= ,OD=1,OB=3,BD= ,求出比值,得到 得出结论;(3)设出点P的坐标,表示出PB,PC,求出BC,分三种情况计算即可.此题是二次函数综合题,主要考查了点的坐标的确定方法,两点间的距离公式,待定系数法,等腰三角形的性质,相似三角形的判定,解本题的关键是判断△BCE∽△BDO.难点是分类.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos∠ACD= ,求⊙O的半径.
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【题目】已知整数a1 , a2 , a3 , a4 , …满足下列条件:a1=0,a2=﹣|a1+1|,a3=﹣|a2+2|,a4=﹣|a3+3|,…,依此类推,则a2012的值为( )
A.﹣1005
B.﹣1006
C.﹣1007
D.﹣2012
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【题目】为了落实省新课改精神,我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程,某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况,随机调查了部分学生作为样本进行统计,绘制了如图所示的统计图(部分信息未给出)
根据图中信息,解答下列问题:
(1)求被调查学生的总人数;
(2)若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程,请估计参加棋类的学生人数;
(3)根据调查结果,请你给学校提一条合理化建议.
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【题目】某校在民族团结宣传活动中,采用了四种宣传形式:A唱歌,B舞蹈,C朗诵,D器乐.全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动,小明对同学们选用的宣传形式,进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了如图两种不完整的统计图表:
选项 | 方式 | 百分比 |
A | 唱歌 | 35% |
B | 舞蹈 | a |
C | 朗诵 | 25% |
D | 器乐 | 30% |
请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次调查的学生共△人,a=△ , 并将条形统计图补充完整;
(2)如果该校学生有2000人,请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多少人?
(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、D四种宣传形式中,随机抽取两种进行展示,请用树状图或列表法,求某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率.
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【题目】如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°36′,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是( )
A.75°36′
B.75°12′
C.74°36′
D.74°12′
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【题目】如图,在直角坐标系中,直线y=﹣ x与反比例函数y= 的图象交于关于原点对称的A,B两点,已知A点的纵坐标是3.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线y=﹣ x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为48,求平移后的直线的函数表达式.
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