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【题目】如图1,AB为O的直径,C为O上一点,作ADCD,垂足为D.

(1)若直线CD与O相切于点C,求证:ADC∽△ACB

(2)如果把直线CD向下平行移动,如图2,直线CD交O于C、G两点,若题目中的其他条件不变,tanDAC=,AB=10,求圆心O到GB的距离OH的长.

【答案】

【解析】

试题分析:(1)首先连接OC,由CD切O于C,根据切线的性质,可得OCCD,又由ADCD,可得OCAD,又由OA=OC,易证得DAC=CAO,根据圆周角定理求得ACB=90°,得出ADC=ACB,即可证得结论;

(2)由于四边形ABGC为O的内接四边形,根据圆的内接四边形的性质得B+ACG=180°,易得ACD=B,又ADC=AGB=90°,利用等角的余角相等得到DAC=GAB,根据tanDAC==tanGAB=和勾股定理求得AG=8,GB=6,然后求得ABG∽△OBH,根据相似三角形的性质求得==,即可求得OH=4.

(1)证明:连接OC,如图1,

直线CD与O相切于点C,

OCCD

ADCD

ADOC

∴∠DAC=ACO

OA=OC

∴∠ACO=CAO

∴∠DAC=CAO

ABO的直径,

∴∠ACB=90°

∴∠ADC=ACB

∴△ADC∽△ACB

(2)解:如图2,ABO的直径,

∴∠AGB=90°

四边形ABGC是O的内接四边形,

∴∠ACD=B

∵∠ADC=AGB=90°

∴∠DAC=GAB

tanDAC==tanGAB=

设GB=3x,AG=4x,

AB=10

(3x)2+(4x)2=102

解得x=2,

AG=8,GB=6,

OHGB,AGGB

OHAG

∴△ABG∽△OBH

==

OH=4

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