【题目】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A、B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC;
(2)如图2,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C、D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
【答案】(1)证明见解析;(2)①135°;②.
【解析】
试题分析:(1)欲证明GF∥AC,只要证明∠A=∠FGB即可解决问题.
(2)①先证明A、D、M、C四点共圆,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解决问题.
②利用①的结论可知,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,利用弧长公式即可解决问题.
试题解析:(1)如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,∴CB与CE重合,∴∠CBE=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.
(2)①如图2中,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠CDF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A、D、M、C四点共圆,∴∠CMF=∠CAD=45°,∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.
②如图3中,O是AC中点,连接OD、CM.
∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A、D、M、C四点共圆,∴当α从90°变化到180°时,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴的长==,∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】商场将某种商品按原价的8折出售,仍可获利20元.已知这种商品的进价为140元,那么这种商品的原价是( )
A. 160元 B. 180元 C. 200元 D. 220元
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一组学生的身高是(单位:米)1.60、1.65、1.59、1.70、1.72、1.70、1.75、1.60、1.70、1.68,则这组学生身高数据的极差是( ).
A.2
B.0.16
C.0.14
D.0
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com