Question

6．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，过C点作CG∥AD交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）求证：E为OB的中点；
（3）若AB=10，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由CG∥AD，CF⊥AD，易得CF⊥CG，即可证得CG是⊙O的切线；
（2）首先连接BD，易证得△BDE∽△OCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得E为OB的中点；
（3）首先由E为OB的中点，AB=10，求得OE的长，然后由勾股定理求得CE的长，继而求得答案．

解答 （1）解：CG是⊙O的切线．
理由：∵CG∥AD，
∴∠FCG+∠CFD=180°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴∠FCG=90°，
即OC⊥CG，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，
∴CF∥BD，
∴△BDE∽△OCE，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{DE}{CE}$，
∵AE⊥CD，
且AE过圆心O，
∴CE=DE，
∴BE=OE，
∴点E为OB的中点；

（3）解：∵AB=10，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
又∵BE=OE，
∴OE=$\frac{5}{2}$，
∵AB⊥CD，
∴CE=$\sqrt{O{C^2}-O{E^2}}=\sqrt{{5^2}-{{（{\frac{5}{2}}）}^2}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=$5\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质与判定、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．