Question

如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米．跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．

(1)求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离)；

(2)若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴、取单位长度为1米、BA的延长方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

如图： 　　AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200(米)． 　　设CD的延长线交地平面于点H． 　　(1)设CH=x，BH=y，由△EBP∽△EHC，得　＝即＝，……① 　　又由△FBA∽△FHC，得　，即，……② 　　由①②解得，x=60，y=100，答：两铁塔轴线间的距离为100米 　　(2)依题意建立坐标系如图 　　由(1)得CH=60米，C点比A点高20米．这时A、C两点坐标为：A(0，0)，C(100，20)，设抛物线顶点为P(x0，y0)，因为要求最低占高于地面为30－6=24米，点A高度为40米，∴y0=－16． 　　设过点A的抛物线解析式为：y=ax2+bx(a＞0)则该抛物线满足：，化简，得125b2+80b－16=0，解得：b1=，b2= 　　∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，有＞0，而a＞0，b＜0，故b1=舍 去．∴b=，代入前式，得a=，∴y=x2－． 　　答：所求抛物线解析式为y=．