Question

如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

Answer 1

（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，
在△GAD和△EAB中，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB=GD；

（2）解：EB⊥GD．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠AMB+∠ABM=90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA=∠EBA，
∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，
∴EB⊥GD．


（3）解：连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=，
在Rt△AOB中，OA=OB，AB=2，由勾股定理得：2AO²=2²，
OA=，
即OG=OA+AG=+=2，
∴EB=GD=．

分析：（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB=GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，∠DHB=90°所以EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．
点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长．