Question

3．设P_n为正n边形的周长，求正n边形的面积．

Answer 1

分析 作OM⊥AB于M，则∠OMA=90°，由正n边形的性质得出AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{{p}_{n}}{2n}$，∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{180°}{n}$，由三角函数得出OM=$\frac{{p}_{n}}{2ntan\frac{180°}{n}}$，得出正n边形的面积=n×$\frac{1}{2}$×$\frac{{p}_{n}}{n}$×$\frac{{p}_{n}}{2ntan\frac{180°}{n}}$，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
AB为正n边形的边长，
连接OA、OB，作OM⊥AB于M，
则∠OMA=90°，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{{p}_{n}}{2n}$，∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{180°}{n}$，
∵tan$\frac{180°}{n}$=$\frac{AM}{OM}$，
∴OM=$\frac{AM}{tan\frac{180°}{n}}$=$\frac{{p}_{n}}{2ntan\frac{180°}{n}}$，
∴正n边形的面积=n×$\frac{1}{2}$×$\frac{{p}_{n}}{n}$×$\frac{{p}_{n}}{2ntan\frac{180°}{n}}$=$\frac{{{p}_{n}}^{2}}{4ntan\frac{180°}{n}}$．

点评 此题考查了正多边形与圆、正n边形的性质、三角函数；熟练掌握正n边形的性质，运用三角函数求出OM是解决问题的关键．