Question

19．我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形．有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程．

Answer 1

分析 过点D作DE∥AB交CA于点E，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{AE}$，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到EA=ED，得到答案．

解答 证明：过点D作DE∥AB交CA于点E，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED，
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CE}{DE}$，
∵DE∥AB，
$\frac{CE}{DE}$=$\frac{CA}{AB}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．

点评 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用的、找准对应关系是解题的关键．