【题目】如图,已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点,交y轴于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点,并与x轴交于另一点D,顶点为C.
(1)求C、D两点的坐标;
(2)求tan∠BAC;
(3)在y轴上是否存在一点P,使得以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)D(﹣1,0)(2)(3)存在P(0,0),(0,﹣
)
【解析】试题分析:(1)先根据直线y=-x+3求出A、B两点的坐标,然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值;根据抛物线的解析式可求出C,D两点的坐标;
(2)过点C作CE⊥y轴,垂足为点E,则BE=4﹣3=1,CE=1,然后解直角三角形得到∠BAC的正切值;
(3)根据三角形相似的性质和判定,分情况讨论:当点P在原点时,当点P在y轴上时,求解即可.
试题解析:(1)把y=0代入得x=3,∴A(3,0),把x=0代入得y=3,∴B(0,3),
把A(3,0),B(0,3)代入y=﹣x2+bx+c, ,解得:b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴C(1,4),
把y=0代入y=﹣x2+2x+3,解得:x1=﹣1,x2=3,∴D(﹣1,0);
(2)过点C作CE⊥y轴,垂足为点E,则BE=4﹣3=1,CE=1,
∴BC=,∠EBC=∠ECB=45°,又∵OB=OA=3,∴AB=3
,∠OBA=∠OAB=45°,
∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°,又∵BC=,AB=3
∴tan∠BAC=
=
;
(3)存在P(0,0),(0,﹣),当点P在原点时,∠BPD=90°,
=
,
∴=
,∠BPD=∠ABC则△BPD∽△ABC;在Rt△ABC中,BC=
,AB=3
,∴AC=2
,在Rt△BOD中,OD=1,OB=3,∴BD=
,当PD⊥BD时,设点P的坐标为(0,y),
当△BDP∽△ABC时, ,即
,解得y=﹣
,∴点P的坐标为(0,﹣
),
∴当P的坐标为(0,0)或(0,﹣)时,以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值情况为( )
A.k>1,b<0
B.k>1,b>0
C.k>0,b>0
D.k>0,b<0
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【题目】某次知识竞赛共出了25道题,评分标准如下:答对1题加4分;答错1题扣1分;不答记0分.已知小明不答的题比答错的题多2道,他的总分为74分,则他至少答对了_________题.
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【题目】已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2:3,△ABC的面积为40,则△DEF的面积为( )
A.60B.70C.80D.90
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4,D为线段AB上一个动点,以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE。若F为DE的中点,则CF的最小值为 。
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【题目】如果线段AB与线段CD没有交点,则( )
A.线段AB与线段CD一定平行
B.线段AB与线段CD一定不平行
C.线段AB与线段CD可能平行
D.以上说法都不正确
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