Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求tan∠BAC；

（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，0）（2）（3）存在P（0，0），（0，﹣）

【解析】试题分析：（1）先根据直线y=-x+3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值；根据抛物线的解析式可求出C，D两点的坐标；

（2）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，则BE=4﹣3=1，CE=1，然后解直角三角形得到∠BAC的正切值；

（3）根据三角形相似的性质和判定，分情况讨论：当点P在原点时，当点P在y轴上时，求解即可.

试题解析：（1）把y=0代入得x=3，∴A（3，0），把x=0代入得y=3，∴B（0，3），

把A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c， ，解得：b=2，c=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），

把y=0代入y=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴D（﹣1，0）；

（2）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，则BE=4﹣3=1，CE=1，

∴BC=，∠EBC=∠ECB=45°，又∵OB=OA=3，∴AB=3，∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°，又∵BC=，AB=3∴tan∠BAC==；

（3）存在P（0，0），（0，﹣），当点P在原点时，∠BPD=90°，=，

∴=，∠BPD=∠ABC则△BPD∽△ABC；在Rt△ABC中，BC=，AB=3，∴AC=2，在Rt△BOD中，OD=1，OB=3，∴BD=，当PD⊥BD时，设点P的坐标为（0，y），

当△BDP∽△ABC时, ,即，解得y=﹣，∴点P的坐标为（0,﹣），

∴当P的坐标为（0，0）或（0，﹣）时，以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似．