Question

17．如图1所示．将两个实心金属块挂在杠杆上，杠杆在水平位置平衡．若实心金属块分别为铜块和铁块，分析下列情况并回答问题：
（1）若两个金属块同时向外、或者同时向里移动相同的距离．杠杠将会怎样？
（2）若将两个金属块各增加或减少相同的质量，杠杠将会怎样？
（3）若两个金属块质量相等，均为实心，一个是铜质的，一个是铁质的，杠杆等臂，若两金属块均浸没在水中，杠杠将会怎样？

（4）若甲、乙均为某材质的金属块，其密度为ρ=2.6×10³kg/m³，体积之比为13：2．若甲浸没在水中平衡时，乙刚好在B点；若甲浸没在某液体中平衡时，乙在C点，OC：OA=2：1，求OA：OB和ρ_液．
（5）若甲和乙是由不同物质构成的实心金属块．甲为立方体，静止在地面上；杠杠AB水平平衡．已知：OA=30cm，AB=75cm，现将支点O移动5cm后，甲对地面的压强变为零；已知：甲边长L_甲=20 cm，乙体积V_乙=1dm³，ρ_甲：ρ_乙=1：4．
（6）[接题（5）]OA=30cm，甲、乙两物体挂在杠杆两端，且杠杆水平平衡；若把乙浸没在水中，杠杠仍处于平衡．此时，甲对地的压强发生变化．则△p_甲375Pa （g取10 N/kg）

Answer 1

分析 （1）由图可知杠杆水平平衡以及两者力臂之间的关系，根据杠杆的平衡条件可知它们的重力关系，然后判断两个金属块同时向外、或者同时向里移动相同的距离时力与力臂乘积的变化关系，然后根据力和力臂乘积大的下沉、乘积小的会上翘判断杠杆转动的方向；
（2）将两个金属块各增加或减少相同的质量时重力的变化量相同，然后判断力与力臂乘积的变化关系，然后根据力和力臂乘积大的下沉、乘积小的会上翘判断杠杆转动的方向；
（3）铜的质量大于铁的质量，根据密度公式判断两实心球的体积关系，根据阿基米德原理判断两球受到浮力之间的关系，绳子对杠杆的作用力等于重力减去受到的浮力，然后得出作用力和力臂乘积之间的关系，最后根据力和力臂乘积大的下沉、乘积小的会上翘判断杠杆转动的方向；
（4）根据密度公式和重力公式表示出物体的重力，根据阿基米德原理表示出甲浸没在水中时受到的浮力，甲对杠杆的拉力等于自身的重力减去受到的浮力，利用杠杆平衡条件得出等式即可求出OA：OB，同理求出某液体的密度；
（5）知道甲的边长可求其体积，根据密度公式和重力公式表示出物体的重力，将支点O移动5cm后甲金属块的力臂减小5cm，据此求出两金属块的力臂，此时甲对地面的压强变为零，根据杠杆的平衡条件得出等式即可求出两金属的密度之比；
（6）把乙浸没在水中，根据阿基米德原理求出乙受到的浮力，根据杠杆的平衡条件得出乙浸没在水中前后甲物体的拉力，两者的差值即为甲对地面压力的变化量，根据p=$\frac{F}{S}$求出甲对地压强的变化量．

解答 解：（1）由图可知，杠杆水平平衡，且L_铜＞L_铁，
由杠杆的平衡条件可知：G_铜•L_铜=G_铁•L_铁，
所以G_铜＜G_铁，
当两个金属块同时向外移动相同的距离△L后，G_铜•△L＜G_铁•△L，
则G_铜•（L_铜+△L）＜G_铁•（L_铁+△L），
所以，挂铁块的一端下沉，杠杠将会顺时针转动；
同理可知，两个金属块同时向里移动相同的距离△L后，G_铜•△L＜G_铁•△L，
则G_铜•（L_铜-△L）＞G_铁•（L_铁-△L），
所以，挂铜块的一端下沉，杠杠将会逆时针转动；
（2）当两个金属块各增加相同的质量时，它们增加的重力相同，△G•L_铜＞△G•L_铁，
则（G_铜+△G）•L_铜＞（G_铁+△G）•L_铁，
所以，挂铜块的一端下沉，杠杠将会逆时针转动；
同理可知，当两个金属块各减少相同的质量时，它们减小的重力相同，△G•L_铜＞△G•L_铁，
则（G_铜+△G）•L_铜＜（G_铁+△G）•L_铁，
所以，挂铁块的一端下沉，杠杠将会顺时针转动；
（3）由题意可知，实心铜球和铁球的质量相等，且铜的密度大于铁的密度，
由ρ=$\frac{m}{V}$可知，铁球的体积大于铜球的体积，
由F_浮=ρgV_排可知，两球浸没在水中时，铁球受到的浮力大于铁球受到的浮力，
因两球的质量相等，重力相等，且绳子的拉力等于球的重力减去受到的浮力，
所以，铜球绳子的拉力大于铁球绳子的拉力，
因杠杆是等臂杠杆，
所以，铜球绳子的拉力与力臂的乘积大于铁球绳子的拉力与力臂的乘积，
故铜球一端下沉，杠杠将会逆时针转动；
（4）由ρ=$\frac{m}{V}$和G=mg可得，甲乙两金属块的重力分别为：
G_甲=m_甲g=ρV_甲g，G_乙=m_乙g=ρV_乙g，
甲浸没在水中时受到的浮力F_浮=ρ_水gV_甲，
甲金属块对杠杆的拉力：
F_甲=G_甲-F_浮=ρV_甲g-ρ_水gV_甲=（ρ-ρ_水）gV_甲，
由杠杆的平衡条件可得：
（ρ-ρ_水）gV_甲•OA=ρV_乙g•OB，
则$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ρ{V}_{乙}}{（ρ-{ρ}_{水}）{V}_{甲}}$=$\frac{ρ}{ρ-{ρ}_{水}}$×$\frac{{V}_{乙}}{{V}_{甲}}$=$\frac{2.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{2.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}-1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$×$\frac{2}{13}$=$\frac{1}{4}$；
若甲浸没在某液体中平衡时，乙在C点，OC：OA=2：1，
甲物体对杠杆的拉力：
F_甲′=G_甲-F_浮′=ρV_甲g-ρ_液gV_甲=（ρ-ρ_液）gV_甲，
由杠杆的平衡条件可得：
（ρ-ρ_液）gV_甲•OA=ρV_乙g•OC，
则ρ_液=（1-$\frac{{V}_{乙}•OC}{{V}_{甲}•OA}$）ρ=（1-$\frac{{V}_{乙}}{{V}_{甲}}$×$\frac{OC}{OA}$）ρ=（1-$\frac{2}{13}$×$\frac{2}{1}$）×2.6×10³kg/m³=1.8×10³kg/m³；
（5）正方体甲的体积：
V_甲=L_甲³=（2dm）³=8dm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$和G=mg可得，甲乙两金属块的重力分别为：
G_甲=m_甲g=ρV_甲g，G_乙=m_乙g=ρV_乙g，
将支点O移动5cm后，甲对地面的压强变为零，
则OA=30cm-5cm=25cm，OB=75cm-25cm=50cm，
由杠杆的平衡条件可得：
ρ_甲gV_甲•OA=ρ_乙V_乙g•OB，
则$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$=$\frac{{V}_{乙}•OB}{{V}_{甲}•OA}$=$\frac{1d{m}^{3}×50cm}{8d{m}^{3}×25cm}$=$\frac{1}{4}$；
（5）把乙浸没在水中前，由杠杆的平衡条件可得：
F_A•OA=G_乙•OB-------------①
把乙浸没在水中后，
F_A′•OA=（G_乙-F_浮）•OB----②
由①②可得，甲对地面压力的变化量：
△F_A=$\frac{OB′}{OA′}$F_浮=$\frac{OB′}{OA′}$ρ_水gV_乙=$\frac{45cm}{30cm}$×1.0×10³kg/m³×10N/kg×1×10^-3m³=15N，
受力面积：
S_甲=L_甲²=（20cm）²=400cm³=0.04m³，
甲对地压强的变化量：
△p=$\frac{△{F}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{15N}{0.04{m}^{3}}$=375Pa．
答：（1）两个金属块同时向外移动相同的距离时杠杆顺时针转动，两个金属块同时向里移动相同的距离时杠杠逆时针转动；
（2）两个金属块各增加相同的质量时杠杠逆时针转动，两个金属块各减少相同的质量时杠杠顺时针转动；
（3）两金属块均浸没在水中后，杠杠将会逆时针转动；
（4）OA：OB的比值为1：4，液体的密度ρ_液为1.8×10³kg/m³；
（5）1：4；
（6）375．

点评 本题主要考查了杠杆平衡条件的应用，同时用到了浮力、拉力、压强、压力和重力之间的大小关系，是一道综合性题目，需要根据已知条件利用杠杆的平衡条件列关系式，从而得出结论．