Question

8．如图所示，重为3.2×10⁴N的卡车，经过一段水平路面，再以9.6×10⁴W的功率沿与水平地面成θ角的斜面匀速向上爬行．已知，斜面的机械效率为80%．
（1）请推证：给斜面的机械效率η与车重G和汽车爬坡时的牵引力F的关系为：η=$\frac{G}{F}$×sinθ．
（2）当θ=30°时，求卡车爬坡时的牵引力和爬坡时的速度．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，$\frac{h}{s}$=sinθ，斜面的机械效率η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$，据此证明；
（2）已知斜坡的机械效率，当θ=30°时，斜面长度s=2h，利用η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{F2h}$=$\frac{G}{2F}$求牵引力．知道牵引力做功的功率，利用P=Fv求爬坡时的速度．

解答 解：
（1）如图，在Rt△ABC中，$\frac{h}{s}$=sinθ，
斜面的机械效率：
η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{G}{F}$×$\frac{h}{s}$=$\frac{G}{F}$×sinθ；

（2）当θ=30°时，在Rt△ABC中，斜面长度s=2h
因为η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{F2h}$=$\frac{G}{2F}$，
所以F=$\frac{G}{2η}$=$\frac{3.2×{10}^{4}N}{2×80%}$=2×10⁴N．
因为P=Fv，
所以爬坡时的速度：
v=$\frac{P}{{F}_{\;}}$=$\frac{9.6×{10}^{4}W}{2×{10}^{4}N}$=4.8m/s．
答：（1）证明过程同上；（2）爬坡时的速度为4.8m/s．

点评 本题考查了学生对功的公式、功率公式、效率公式的掌握和运用，知道有用功为Gh、总功为Fs、利用好直角三角形的角边关系和功率的推导公式P=Fv是关键．