新课标同步单元练习八年级数学北师大版深圳专版
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2. 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积化简后不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})=6 - 2=4$，我们称$\sqrt{3}$的一个有理化因式是$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}-\sqrt{2}$的一个有理化因式是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$。
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，从而化去分母中的根式，这种变形叫作分母有理化，例如，$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
请你根据材料，探索并解决下列问题：
(1)化简：①$\frac{2}{3\sqrt{2}}=$______；②$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=$______。
(2)计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}$。
(3)若$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值。
答案：(1)①$\frac{\sqrt{2}}{3}$；②$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$
解析：①$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；②$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$
(2) $44$
解析：原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2025}-\sqrt{2024})=\sqrt{2025}-1=45 - 1=44$
(3) -1
解析：$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}$，则$a - 2=-\sqrt{3}$，$(a - 2)^2=3$，$a^2 - 4a + 4=3$，$a^2 - 4a=-1$。$2a^2 - 8a + 1=2(a^2 - 4a)+1=2×(-1)+1=-1$
一、基础性作业
1. 计算：$2\sqrt{3}□(-\sqrt{3})$，若要使计算结果最大，则“□”中的符号是（ ）。
A. +
B. -
C. ×
D. ÷
答案：B
解析：分别计算各选项：A选项$2\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$；B选项$2\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=3\sqrt{3}$；C选项$2\sqrt{3}×(-\sqrt{3})=-6$；D选项$2\sqrt{3}÷(-\sqrt{3})=-2$。最大的是$3\sqrt{3}$，选B。
2. 已知$x=\sqrt{2}+1$，则代数式$x^2 - 2x + 1$的值为（ ）。
A. 2
B. 4
C. 3 + 2$\sqrt{2}$
D. 6 + 4$\sqrt{2}$
答案：A
解析：$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2=(\sqrt{2}+1 - 1)^2=(\sqrt{2})^2=2$。
3. 下列结论正确的是（ ）。
A. $\sqrt{(3 - \pi)^2}=3 - \pi$
B. $\sqrt{a^2 - 4}$不是最简二次根式
C. $\sqrt{-ab^2}(b＜0)=b\sqrt{-a}$
D. $\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}-(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2 + \sqrt{6}$
答案：D
