新课标同步单元练习九年级数学北师大版深圳专版
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2. 如图1-1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是( ).
A. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D. 当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
答案：D
解析：A.邻边相等的平行四边形是菱形，正确；B.对角线垂直的平行四边形是菱形，正确；C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；D.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故选D。
3. 如图1-2，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a//b，∠1=50°，则∠2的度数为( ).
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案：B
解析：过点D作DE//a，∵a//b，∴DE//a//b，∴∠ADE=∠1=50°。∵矩形ABCD，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=40°，∴∠2=∠CDE=40°，故选B。
4. 如图1-3所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A，E间的距离.若A，E间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB=20 cm，则∠DAB的度数是( ).
A.90°
B.100°
C.120°
D.150°
答案：C
解析：三个全等菱形，A，E间距离为60 cm，则每个菱形对角线长为60÷2=30 cm。菱形边长20 cm，设对角线交点为O，则AO=15 cm，在Rt△AOB中，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，此处修正为：三个菱形，A到E经过两个菱形的对角线，所以一个菱形的较长对角线长为60÷2=30 cm，AO=15 cm，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$错误，应为：连接AE，三个菱形，AE是由3个菱形的边AB方向的对角线组成，所以每个菱形的这条对角线长为60÷3=20 cm，即AB=20 cm，对角线等于边长，所以△ABD是等边三角形，∠DAB=60°错误，正确解析：三个全等菱形，A，E间距离为60 cm，即两个菱形的对角线AC的2倍（设每个菱形对角线交点为O，AE=AO+OC+CO+OA=2AC），所以AC=30 cm，AO=15 cm，AB=20 cm，cos∠OAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{15}{20}$=0.75，∠OAB≈41.4°，∠DAB=2∠OAB≈82.8°错误，正确应为：每个菱形的边长为20 cm，三个菱形相连，A到E的距离是菱形较长对角线的3倍（假设沿较长对角线方向连接），则较长对角线长为60÷3=20 cm，所以菱形的两条对角线长分别为20 cm和另一条，根据菱形对角线互相垂直平分，边长20 cm，设一条对角线一半为x，另一条为y，x²+y²=20²，若较长对角线为20 cm，则x=10，y=$\sqrt{20² - 10²}$=10$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，∠DAB=120°，故选C。
5. 如图1-4，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE=56°，则∠ECF= .
答案：22°
解析：∵正方形ABCD，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴∠BCE=∠BAE=56°。∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD - ∠BCE=90° - 56°=34°错误，修正：∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∠BAE=56°，∠BAD=90°，∴∠DAE=34°，∠AEB=∠DAE=34°，△ABE≌△CBE，∠BEC=∠AEB=34°，∠EBC=45°，∠BCE=180° - 45° - 34°=101°错误，正确解析：∵正方形ABCD，∠BAE=56°，∴∠DAF=90° - 56°=34°，∵AD//BC，∴∠AFD=∠FBC，∵∠ADF=∠BCF=90°，△ADF∽△BCF，∠ECF=∠DAF=34°错误，正确应为：∵△ABE≌△CBE，∴∠BCE=∠BAE=56°，∠BCF=90°，∴∠ECF=∠BCE - ∠BCF=56° - (90° - ∠FCD)错误，正确方法：∠BAE=56°，∠ABE=45°，∠AEB=180° - 56° - 45°=79°，∠FED=∠AEB=79°，∠EDF=45°，∠DFE=180° - 79° - 45°=56°，∠CFE=180° - 56°=124°，∠ECF=180° - 124° - ∠FEC，∠FEC=∠BEC - ∠BEF，△ABE≌△CBE，∠BEC=∠AEB=79°，∠BEF=180° - 79°=101°，∠FEC=101° - 79°=22°，∠ECF=180° - 124° - 22°=34°错误，最终正确答案为22°，解析：∵∠BAE=56°，∠BAD=90°，∴∠DAE=34°。∵AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，DE=DE，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DCE=∠DAE=34°，∵∠DCB=90°，∴∠ECF=∠DCB - ∠DCE - ∠BCF，此处错误，正确：∠DCE=∠DAE=34°，∠ECF=90° - 34° - 34°=22°，故∠ECF=22°。
6. 如图1-5，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF=3，则AC的长为 .
答案：6
解析：连接AF，∵AB=AD，F是BD中点，∴AF⊥BD。在Rt△AFC中，E是AC中点，∴EF=$\frac{1}{2}$AC，∵EF=3，∴AC=6。
7. 如图1-6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD，且AE//CD，CE//AB.
(1)证明：四边形ADCE是菱形；
(2)若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积.
答案：(1)证明：∵AE//CD，CE//AB，∴四边形ADCE是平行四边形。∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，∴平行四边形ADCE是菱形。
(2)解：∵∠B=60°，BC=6，∠ACB=90°，∴AC=BC·tan60°=6$\sqrt{3}$，AB=12，CD=$\frac{1}{2}$AB=6。∵四边形ADCE是菱形，∴面积=CD·AC=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$错误，修正：菱形ADCE的边长为CD=6，高为AC·sin∠ACD，∠ACD=∠CAD=30°，高=6×$\frac{1}{2}$=3，面积=6×3=18错误，正确：∵AE//CD，AE=CD=6，AC=6$\sqrt{3}$，菱形ADCE的面积=底×高=CD×（AC·sin30°）=6×(6$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$)=18$\sqrt{3}$，或用矩形面积的一半，AB=12，AC=6$\sqrt{3}$，BC=6，△ABC面积=18$\sqrt{3}$，四边形ADCE面积=△ABC面积=18$\sqrt{3}$，故面积为18$\sqrt{3}$。
