Question

某同学在学习等径球最密堆积（立方最密堆积A1和六方最密堆积A3）后，提出了另一种最密堆积形式Ax．如图所示为Ax堆积的片层形式，然后第二层就堆积在第一层的空隙上．请根据Ax的堆积形式回答：（简要写出过程）
（1）计算在片层结构中（如图所示）球数、空隙数和切点数之比

 

（2）在Ax堆积中将会形成正八面体空隙和正四面体空隙．确定球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比

 

（3）指出Ax堆积中小球的配位数

 

（4）计算Ax堆积的原子空间利用率．
（5）正八面体和正四面体空隙半径（可填充小球的最大半径，设等径小球的半径为r）．
（6）已知金属Ni晶体结构为Ax堆积形式，Ni原子半径为124.6pm，计算金属Ni的密度．（Ni的相对原子质量为58.70）
（7）如果CuH晶体中Cu⁺的堆积形式为Ax型，H-填充在空隙中，且配位数是4．则H-填充的是哪一类空隙，占有率是多少？
（8）当该同学将这种Ax堆积形式告诉老师时，老师说Ax就是A1或A3的某一种．你认为是哪一种，为什么？

Answer 1

考点：晶胞的计算

专题：化学键与晶体结构

分析：（1）根据均摊法计算，一个球实际占有的空隙数为4×

1

4

=1，占有切点数为4×

1

2

=2，所以球数、空隙数和切点数之比为1：1：2； 
（2）一个球参与六个正八面体空隙，一个正八面体空隙由六个球围成；一个球参与八个正四面体空隙，一个正四面体空隙由四个球围成，所以在一个正八面体空隙中占有球的个数为8×

1

8

=1，一个正四面体空隙占有球的个数为4×

1

8

=

1

2

，所以球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比为1：1：2；
（3）根据图可知，平面已配位4个，中心球周围的四个空隙上下各堆积4个，共12个，所以小球的配位数为12；   
（4）以4个相邻小球中心构成底面，空隙上小球的中心为上底面的中心构成正四棱柱，设小球半径为r，则正四棱柱边长为2r，高为r，共包括1个小球（4个1/4，1个1/2），所以空间利用率为

4 3 πr3

(2r)2 2 r

=74.05%；  
（5）在正八面体空隙中，由四个在同一平面的小球构成的正方形的边长为2r，对角线为2

2

r，所以空隙中的直径为2

2

r-2r，所以空隙的半径为（

2

-1）r=0.414r，在正四面体中，体心到顶点的距离为

6

2

r，所以空隙的半径为

6

2

r-r=0.225r；
（6）根据第（4）题，正四棱柱质量为58.70/N_Ag，体积为(2r)2

2

r=1.094×10^-23cm³，所以密度为

58.7 NA g

1.094×10-23cm3

=8.91g/cm³ 
（7）正四面体为4配位，正八面体为6配位，且正四面体空隙数为小球数的2倍，所以H^-填充在正四面体空隙，占有率为50%；
（8）取一个中心小球周围的4个小球的中心为顶点构成正方形，然后上面再取两层，就是顶点面心的堆积形式．底面一层和第三层中心小球是面心，周围四小球是顶点，第二层四小球（四个空隙上）是侧面心．  也可以以相邻四小球为正方形边的中点（顶点为正八面体空隙），再取两层，构成与上面同样大小的正方体，小球位于体心和棱心，实际上与顶点面心差1/2单位，所以Ax就是A1．

解答： 解（1）根据均摊法计算，一个球实际占有的空隙数为4×

1

4

=1，占有切点数为4×

1

2

=2，所以球数、空隙数和切点数之比为1：1：2，故答案为：1：1：2； 
（2）一个球参与六个正八面体空隙，一个正八面体空隙由六个球围成；一个球参与八个正四面体空隙，一个正四面体空隙由四个球围成，所以在一个正八面体空隙中占有球的个数为8×

1

8

=1，一个正四面体空隙占有球的个数为4×

1

8

=

1

2

，所以球数、正八面体空隙数和正四面体空隙数之比为1：1：2，故答案为：1：1：2；
（3）根据图可知，平面已配位4个，中心球周围的四个空隙上下各堆积4个，共12个，所以小球的配位数为12，故答案为：12；   
（4）以4个相邻小球中心构成底面，空隙上小球的中心为上底面的中心构成正四棱柱，设小球半径为r，则正四棱柱边长为2r，高为r，共包括1个小球（4个1/4，1个1/2），所以空间利用率为

4 3 πr3

(2r)2 2 r

=74.05%，答：原子空间利用率为74.05%；
（5）在正八面体空隙中，由四个在同一平面的小球构成的正方形的边长为2r，对角线为2

2

r，所以空隙中的直径为2

2

r-2r，所以空隙的半径为（

2

-1）r=0.414r，在正四面体中，体心到顶点的距离为

6

2

r，所以空隙的半径为

6

2

r-r=0.225r，
答：正八面体和正四面体空隙半径分别为0.414r、0.225r；
（6）根据第（4）题，正四棱柱质量为58.70/N_Ag，体积为(2r)2

2

r=1.094×10^-23cm³，所以密度为

58.7 NA g

1.094×10-23cm3

=8.91g/cm³，
答：金属Ni的密度为8.91g/cm³；
（7）正四面体为4配位，正八面体为6配位，且正四面体空隙数为小球数的2倍，所以H^-填充在正四面体空隙，占有率为50%，答：H^-填充在正四面体空隙，占有率为50%；
 （8）取一个中心小球周围的4个小球的中心为顶点构成正方形，然后上面再取两层，就是顶点面心的堆积形式．底面一层和第三层中心小球是面心，周围四小球是顶点，第二层四小球（四个空隙上）是侧面心，也可以以相邻四小球为正方形边的中点（顶点为正八面体空隙），再取两层，构成与上面同样大小的正方体，小球位于体心和棱心，实际上与顶点面心差1/2单位，所以Ax就是A1，
答：为A1；取一个中心小球周围的4个小球的中心为顶点构成正方形，然后上面再取两层，就是顶点面心的堆积形式．底面一层和第三层中心小球是面心，周围四小球是顶点，第二层四小球（四个空隙上）是侧面心．

点评：本题主要考查晶胞结构计算，难度较大，对学生的立体几何的功底要求较高，要有充分的空间想象力．