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    已知函数f(x)=
    x2+1
    x+c
    的图象关于原点对称．
    （1）求f（x）的表达式；
    （2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；
    （3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．
    ∵f（x）图象关于原点对称
    ∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
    ∴f(x)=
    x2+1
    x

    （2）∵n≥2，n∈N
    ∴f(n2)-n2=
    1
    n2
    ＜
    1
    (n-1)n
    =
    1
    n-1
    -
    1
    n
    (n≥2)
    ∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+…+(
    1
    n-1
    -
    1
    n
    )＜2
    （3）[f(x)]n-f(xn)=(x+
    1
    x
    )n-(xn+
    1
    xn
    )
    =
    C1n
    xn-1
    1
    x
    +
    C2n
    xn-2(
    1
    x
    )2+…+
    Cn-1n
    x(
    1
    x
    )n-1
    =
    1
    2
    [(
    C1n
    xn-1
    1
    x
    +
    Cn-1n
    x(
    1
    x
    )n-1)+(
    C2n
    xn-2(
    1
    x
    )2+
    Cn-2n
    x2(
    1
    x
    )n-1)+…    +(
    Cn-1n
    x(
    1
    x
    )n-1+
    C1n
    xn-1(
    1
    x
    ))]

    ≥
    1
    2
    [
    Cn1
    2
    		xn-1
    1
    x
    x(
    1
    x
    )    n-1      +
    Cn2
    •2
    		xn-2
    1
    x 2
    x2(
    1
    x
    ) n-2
    +…+
    Cnn-1
    •2
    		(
    1
    x
    ) n-1x n-1
    ]    =2n-2
    ∴[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
    （1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
    （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：浙江省东阳中学高三10月阶段性考试数学理科试题 题型：022

    已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年河南省许昌市长葛三高高三第七次考试数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
    A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
    B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
    C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
    D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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