Question

（2012•武清区一模）己知函数f(x)=-lnx-

a

x

，a∈R．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，从而可求函数f（x）的单调区间；
（1）求导函数，分类讨论，确定函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而可求函数的最大值．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′(x)=-

1

x

+

a

x2

=

-x+a

x2

当a＞0时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜a；令f′（x）＜0，可得x＞a；
∴函数在（0，a）上单调增，在（a，+∞）上单调减；
（2）求导函数可得f′(x)=-

1

x

+

a

x2

=

-x+a

x2

由（1）知，当a＞0时，函数在（0，a）上单调增，在（a，+∞）上单调减，
故a＞e时，函数f（x）在区间[1，e]上单调减，∴x=1时，函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为-a；
0＜a≤e时，函数f（x）在区间[1，e]上单调增，∴x=e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为-1-

a

e

；
当a＜0时，函数在区间[1，e]上单调减，∴x=1时，函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为-a；
综上知，a＞e或a＜0时，函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为-a；0＜a≤e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为-1-

a

e

．

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值．