Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P，AD⊥PC交PC的延长线于D，AD与⊙O相交于点E．
（1）求证：PB：PC=DC：AD；
（2）若AB=6，BC=3，求AE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据PC与圆O相切于C点证得△APC∽△CPB，推出PB：PC=BC：AC；再结合∠ACB=90°以及AD⊥PC于D得到Rt△ACD∽Rt△ABC，进而得DC：AD=BC：AC，联立即可证明结论．
（2）先在△ABC中求出AC，再根据△ACD∽△ABC求出DC以及AD，再结合切割线定理即可求出结论．
解答：（1）证明：
∵PC与圆O相切于C点，
∴∠CAB=∠PCB
∴△APC∽△CPB．
∴PB：PC=BC：AC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠DCA=90°，
∵AD⊥PC于D
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠DAC=∠CAB．
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴DC：AD=BC：AC．
∴PB：PC=DC：AD．
（2）解：在△ABC中，AB=6，BC=3，
∴AC=3．
由△ACD∽△ABC，以及AD⊥PC于D
∴DC=，AD=．
又由切割线定理得：DC²=AD•DE．
即=×（-AE）
∴AE=3．
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．是对基础知识的综合考查．