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精英家教网A、选修4-1:几何证明选讲 
如图,PA与⊙O相切于点A,D为PA的中点,
过点D引割线交⊙O于B,C两点,求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=
12
2x
的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)
,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=t
y=1+2t
(t为参数),判断直线l和圆C的位置关系.
D.选修4-5:不等式选讲
求函数y=
1-x
+
4+2x
的最大值.
分析:A 由切割线定理得到 DP2=DA2=DB•DC,即
PD
DC
=
DB
PD
.  因为∠BDP=∠PDC,可得△BDP∽△PDC,从而,∠DPB=∠DCP.
B 写出矩阵M的特征多项式 f(λ),由λ1=3方程f(λ)=0的一根,令x=1 得特征值 λ2=-1,求出它对应的特征向量.
C把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离小于半径,故直线l和⊙C相交.
y=
1-x
+
4+2x
=(
1-x
2+x
)•(1,
2
),由|
a
b
|≤|
a
| • |
b
|
 求得函数的最大值.
解答:解:A.因为PA与圆相切于A,所以,DA2=DB•DC,因为D为PA中点,所以,DP=DA,
所以,DP2=DB•DC,即
PD
DC
=
DB
PD
.  因为∠BDP=∠PDC,所以,△BDP∽△PDC,精英家教网
所以,∠DPB=∠DCP.
B.矩阵M的特征多项式为f(λ)=
.
λ-1
,-2
-2
,λ-x
.
=(λ-1)(λ-x)-4
因为λ1=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1,
由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,
设λ2=-1对应的一个特征向量为α=
x
y

-2x-2y=0
-2x-2y=0
得 x=-y,令x=1,则y=-1,
所以矩阵M的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为α=
1
-1

C.消去参数t,得直线l的直角坐标方程为y=2x+1;ρ=2
2
(sinθ+
π
4
)
即ρ=2(sinθ+cosθ),
两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),得⊙C的直角坐标方程为:(x-1)2+(x-1)2=2,
圆心C到直线l的距离d=
|2-1+1|
22+12
=
2
5
5
2
,所以,直线l和⊙C相交.
D.因为y=
1-x
+
4+2x
=(
1-x
2+x
)•(1,
2
),由|
a
b
|≤|
a
| • |
b
|
 求得
∴y的最大值为3,
当且仅当两个向量共线时,即
1
1-x
=
2
2+x
时取“=”号,即当x=0时,ymax=3.
点评:本题考查简单曲线的极坐标方程,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系的判定,矩阵的特征值与特征向量的定义.体现了数形结合及转化的数学思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网A(选修4-1:几何证明选讲)
如图,AB是⊙O的直径,C,F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D,连接CF交AB于点E.
求证:DE2=DB•DA.
B(选修4-2:矩阵与变换)
求矩阵
21
12
的特征值及对应的特征向量.
C(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
(t为参数).
(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.
D(选修4-5:不等式选讲)
已知m>0,a,b∈R,求证:(
a+mb
1+m
)2
a2+mb2
1+m

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题:在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

A)选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心交⊙O于C,D两点,若PA=2,AB=4,PO=5,则⊙O的半径长为
13
13


(B)选修4-4:坐标系与参数方程
参数方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中当t为参数时,化为普通方程为
x2-y2=1(x≥1)
x2-y2=1(x≥1)

(C)选修4-5:不等式选讲
不等式|2-x|+|x+1|≤a对于任意x∈[0,5]恒成立的实数a的集合为
{a|a≥9}
{a|a≥9}

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.
请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲如图,AD是∠BAC的平分线,⊙O过点A且与BC边相切于点D,与AB,AC分别交于E,F,求证:EF∥BC.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若矩阵M=[
-1
b
a
3
]所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求a,b的值.
C.选修4-4:坐标系与参数方程将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t为参数)化为普通方程.
D.选修4-5:已知a,b是正数,求证(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥92.

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科目:高中数学 来源: 题型:

从A,B,C,D四个中选做2个A.选修4-1(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.
B.选修4-2(矩阵与变换)
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,求所得曲线的方程.
C.选修4-4(坐标系与参数方程)
求直线
x=1+2t
y=1-2t
(t为参数)被圆
x=3cosa
y=3sina
(α为参数)截得的弦长.
D.选修4-5(不等式选讲)
已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3

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