Question

【题目】对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由；

（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)

【解析】试题分析：（1）本题实质就是解方程，如果这个方程有实数解，就说明是“局部奇函数”，如果这个方程无实数解，就说明不是“局部奇函数”，易知有实数解，因此答案是肯定的；（2）已经明确是“局部奇函数”，也就是说方程一定有实数解，问题也就变成方程在上有解，求参数的取值范围，又方程可变形为，因此求的取值范围，就相当于求函数 的值域，用换元法（设），再借助于函数的单调性就可求出.

试题解析：(1) 为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．

即 （3分）

有解 为“局部奇函数”．（5分）

(2)当时, 可转化为（8分）

因为的定义域为,所以方程在上有解,令,（9分）

则

因为在上递减,在上递增, （11分）

（12分）

即（14分）