Question

设a∈R，函数f（x）=e^x+

a

ex

是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是2，则切点的纵坐标为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数奇偶性的性质

专题：导数的综合应用

分析：由奇函数的性质得到a的值，代入原函数求导，设出切点坐标，由函数在切点处的导数值为2得到x₀=ln2，
然后代入函数解析式得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=e^x+

a

ex

的定义域为R，且是奇函数，
∴f（0）=0，即a=-1．
∴f（x）=e^x-

1

ex

∴f′（x）=e^x+

1

ex

，
设切点为（x₀，y₀），
由f′(x0)=ex0+

1

ex0

=2，得ex0=1，
∴y₀=0．
故答案为：0．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．