Question

三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：过A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，过A₁作A₁E⊥AB交AB于E，过A₁作A₁F⊥AC交AC于F，连结EO、FO，由三垂线定理得EO⊥AB，FO⊥AC．由此能求出此棱柱的侧面积与体积．

解答： 解：如图，过A₁作A₁O⊥底面ABC交底面于O，
过A₁作A₁E⊥AB交AB于E，过A₁作A₁F⊥AC交AC于F，
连结EO、FO，由三垂线定理得EO⊥AB，FO⊥AC．?
∵AA₁和AB与AC都成60°角，?
∴△A₁AE≌△A₁AF．∴A₁E=A₁F．?
∵A₁O⊥底面ABC，∴EO=FO．?
∴点O在∠BAC的角平分线上．?
延长AO交BC于点D，?
∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD．∴BC⊥AA₁．?
∵AA₁∥BB₁，∴侧面BB₁C₁C是矩形．?
∴三棱柱的侧面积为?
S=2×

1

2

×3×4×sin60°+3×4=12+6

3

．?
∵AA₁=3，AA₁和AB与AC都成60°角，
∴AE=

3

2

．?
∵∠BAO=30°，∴AO=

3

，A₁O=

6

．?
∴三棱柱的体积为V=

1

3

×

3

4

×16×

6

=4

2

．

点评：本题考查棱柱的侧面积与体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．