Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）证明：AD⊥平面PAC．

Answer 1

证明：（1）连接BD和OM
∵底面ABCD为平行四边形且O为AC的中点
∴BD经过O点
在△PBD中，O为BD的中点，M为PD的中点
所以OM为△PBD的中位线
故OM∥PB
∵OM∥PB，OM?平面ACM，PB?平面ACM
∴由直线和平面平行的判定定理知 PB∥平面ACM．
（2）∵PO⊥平面ABCD，且AD?平面ABCD
∴PO⊥AD
∵∠ADC=45°且AD=AC=1
∴∠ACD=45°
∴∠DAC=90°
∴AD⊥AC
∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，且AC∩PO=O
∴由直线和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面PAC．
分析：（1）连接BD、OM，由M，O分别为PD和AC中点，得OM∥PB，从而证明PB∥平面ACM；
（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．
点评：本题主要考查了直线和平面平行及垂直的判定定理．