Question

（2009•宜昌模拟）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（sinC+

3

+1，2sin

A+B

2

），

n

=（-1，

3

sin

A+B

2

），且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2

3

，c=2，求b．

Answer 1

分析：（1）由平面向量垂直时数量积为0，列出关系式，利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简，再根据两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据特殊角的三角函数值及C为三角形的内角，即可求出C的度数；
（2）由（1）求出的C的度数，求出cosC的值，再由a及c的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴-sinC-

3

-1+2

3

sin²

A+B

2

=0，
化简得：-sinC-

3

cos（A+B）=1，即

3

cosC-sinC=1，
整理得：sin（

π

3

-C）=

1

2

，又C为三角形的内角，
∴

π

3

-C=

π

6

，即C=

π

6

；
（2）∵a=2

3

，c=2，cosC=

3

2

，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：4=12+b²-6b，
解得b=2或b=4，
则b的值为2或4．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．