Question

（2009•宜昌模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，

Sn

n

)都在函数f（x）=x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，若不等式An

an+1

＜f(a-1)-

3

2a

对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

n

=n+1即 S_n=n²+n．再利用a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，故可求；
（2）由a_n=2n可得数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b₁₀₀是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求
（3）因为

an-1

an

=1-

1

an

，An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)•

2n+1

，可证{An

an+1

}单调递减，从而(An

an+1

)max=A1

a1+1

=

3

2

，故有f(a-1)-

3

2a

＞

3

2

即a-

3

2a

＞

3

2

恒成立，从而可求a的范围

解答：解：（1）∵点(n，

Sn

n

)都在函数f（x）=x+1的图象上，∴

Sn

n

=n+1即S_n=n²+n----------------------2’
∴a₁=S₁=2当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n----------------3’
显然，n=1时，满足上述等式，∴a_n=2n（n∈N^*）---------------------4’
（2）由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，
因此第100个括号应在第25组第4个括号---------------------------------------------6’
该括号内四项分别为a₂₄₇、a₂₄₈、a₂₄₉、a₂₅₀-----------------------------------------7’
因此b₁₀₀=a₂₄₇+a₂₄₈+a₂₄₉+a₂₅₀=494+496+498+500=1988-------------9’
又b₅=a₁₁=22，∴b₅+b₁₀₀=2010------------------------------------------------10’
（3）∵An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)•

2n+1

---------------------------11’
∴

An+1 an+1+1

An an+1

=

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )(1- 1 an+1 )• 2n+3

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an )• 2n+1

=

2n+1 2n+2 2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1恒成立----------------13’
∴{An

an+1

}单调递减，∴(An

an+1

)max=A1

a1+1

=

3

2

---------------15’
∴f(a-1)-

3

2a

＞

3

2

即a-

3

2a

＞

3

2

恒成立---------------------------------------16’
∴

2a2- 3 a-3

2a

＞0即

(2a+ 3 )(a- 3 )

2a

＞0∴a的取值范围为(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)-----------18’

点评：本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查